关于钢结构近似回转半径计算的研究

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前言
钢结构在冶金行业广泛地使用，作为结构设计人员需要合理地完成结构设计，并且对自己做出的设计进行核算以保证结构的安全，本文提出近似的计算方法，计算近似回转半径，可以应用在结构设计中同时可以作为一种核算手段。
 
1 近似回转半径
由于钢材的强度高，因此只要较小的截面就能满足较高的承载力，截面小，会导致截面不是很展开，截面过多地集中在一起会引起抗弯能力不足进而引发稳定问题，这就是钢结构有稳定问题而混凝土没有稳定问题的原因，钢结构的核心问题是稳定，稳定是截面展开程度在受力的情况下的一种反应，而回转半径是截面展开程度的直接度量，其计算公式为（其中I为绕计算轴的惯性矩，A为面积），可见回转半径在钢结构中的作用很重要。对于受压构件（包括轴压和压弯）和受拉构件（包括轴拉和拉弯）而言，构件的刚度控制是由长细比来决定的，受压构件的弯曲失稳的稳定系数也主要是由长细比来决定，对于压弯构件，通常使用的工字形截面而言，其平面外的稳定系数主要是由对应的梁绕竖轴的长细比决定的。我们进行受压构件的试算大概确定截面的大小时也要用到长细比，对于一定长度的构件回转半径定了，长细比就定了。精确的回转半径是很难计算的，现在提出回转半径的近似计算方法以及各种不同截面的回转半径之间的相互关系，以及其中的奥秘。
1.1 矩形截面的回转半径
回转半径为：（其中b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度，）在计算时，我们可以得出这样的一个规律，对于矩形截面而言，回转半径与宽度无关，而且只与高度有关，而且是高度的0.3倍，从公式上看，我们可以发现惯性矩I与高度h的三次方成正比与宽度b的一次方成正比，也就是说高度对回转半径影响比宽度影响大得多，由于面积A与b和h都是一次方关系，两者相除，则宽度b对回转半径没有影响，此规律应用在确定钢管的回转半径时，可以这样处理，将钢管截面微分并向中和轴上投影，钢管变成如下图形（这样处理不影响计算惯性矩I和面积A，是等效处理。在本文中所有回转半径均是针对水平轴的），由于高度没有变，宽度沿高度变化但是变化不大，又因为宽度对回转半径影响很小，有时候甚至没有影响，故圆钢管的回转半径大约为0.3D,与精确计算对比发现差别不大，分析处理示意图如下：
1.2 等边角钢的回转半径
1.2.1平行于肢的回转半径
通过近似处理，其中和轴在离肢背1/4的肢长处（忽略了小量）
惯性矩：
面积 ：
1.2.2绕对称轴的回转半径
处理方法是将截面微分并向垂直于对称轴的轴进行投影，则可以转化为一个近似的矩形，则可以利用上面的结论进行计算。
回转半径为：
1.2.3垂直于对称轴的回转半径
处理方法是将截面微分并向对称轴进行投影，则可以转化为一个近似的矩形，则可以利用上面的结论进行计算。
由于回转半径与宽度无关，故：
总而言之：角钢的三个回转半径有这样的规律，绕平行于肢长的轴的回转半径是 ,绕对称轴的回转半径是，垂直于对称轴的回转半径是。从上面的推导我们可以知道，角钢的回转半径只与肢长有关，与厚度几乎无关。通过与精确回转半径对比我们可以发现，上面计算与精确回转半径差别很微小。
 
1.3 工字钢、H型钢、槽钢、十字形截面的近似回转半径
1.3.1关于H型钢绕强轴的回转半径的推导
（其中为较小量可以忽略）
设，
根据通常工字形截面的几何尺寸大致关系，我们可以得到：
为较小量可以忽略
令
因为  ，
当，时，K=0.38
当，时， K=0.46
由于，几乎不可能同时满足以上极值条件，故在进行估算时我门可以取两者的平均值（0.38+0.46）/2=0.42，可见工字形截面的回转半径与高度有关，与宽度几乎无关，回转半径与高度的比值几乎恒定，这个值大约是0.42。我们认为回转半径为0.42h。
 
1.3.2 关于工字形截面绕弱轴的回转半径的推导
   （其中，为较小量）
由于，与差别不大，则比小很多，是一个较小量，可以忽略。
忽略较小量并将，代入其中可以得到
当，时，
当，时，
又由于工程上实际的截面不可能出现同时满足以上极值条件，故可以取平均值：
1.3.3十字形截面的回转半径的推导
 （其中，为较小量）
令，并将两者代入上式中，可以得到：
对于我们通常见到十字形截面，两板件的厚度与长度几乎是相等的。忽略较小量
故：
我们利用投影的办法可以处理各种不同的截面，这种投影的办法是将截面微分，并向垂直于要计算的那个轴进行投影，便可以把绝大多数截面化成四种基本的截面形式，这四种基本的截面分别是矩形，十字形，T形截面，工字形截面（各种截面回转半径的归类表见下一页）。
我们可以得出如下结论：
1，回转半径仅与截面所在垂直于计算轴的轴的高度有关，也就是仅与截面在垂直于计算轴的方向上的展开程度有关，
2，回转半径与构成截面的板件的厚度和宽度几乎没有什么关系。
3，长方形截面为0.3，中间加一块板变为0.2，比原来降低0.1，是因为惯性矩没有什么变化，但是面积有较大的增加，将中间板移到端部，则变成是0.3，比原来升高0.1，是因为惯性矩有较大的增加，将T形截面的另一端再加上一块板件，则变成0.4，又在原来的基础上升高0.1，这只是一个近似的规律，并且有一定的实用条件，但是对于我们通常所见的截面一般都能满足一上规律。
 
现列出各种截面近似计算与精确计算的对照表，见下表。
    将近似值与精确值进行对比，可以发现两者的差别不是很大，最大的误差也不超过10%，这个计算精度在工程上是可以用的，由于通常采用的型钢（工厂轧制），这样截面就有不连续性的特点，因此可以发现精确设计出来的截面与近似设计出来的截面是经常是同一种截面。
近似回转半径的应用举例：
例子：设计剪刀撑截面，双角钢相并，由长细比控制（按照拉杆控制，为250），支撑的长度为5.0m，如果我们用常规的确定截面的方法是先确定截面再查表看回转半径，看长细比够不够，用这样的方法确定的截面往往需要多次才能确定，而且要查表，很麻烦。如果利用近似的回转半径那就可以很快解决问题了，可以用算术表达式表达为：
2xLx0.2x250=5000,     解得L=50，可以采用63x6的角钢即可。
灵活运用近似回转半径往往能得到意想不到的好处，如，惯性矩是很难计算的一个物理量，我们可以这样解决它，，有时侯可以利用近似值进行检验我们所做的设计，等等。
 
2 总结
总而言之：回转半径的计算对于从事钢结构设计的人员来说有很大的帮助，理解了该计算方法就能深刻了解构件的受力性能，就可以了解截面形状和长度对构件承载力的影响，可以加快设计速度。同时该估算方法也可以作为结构设计的一种核算手段，对于设计一些次要构件可以直接采用该方法。