钢筋混凝土的模型

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摘要：混凝土裂缝能和张拉应力、主要裂缝宽度的新关系，经通过考虑微裂缝强度或者混凝土的软化得到了发展。线性乘幂和指数函数的数学模型已经用来描述张拉力的下降图标。一种非线性有限单元模型已经发展，是一种使用分裂叠加的方法。这种方法说明确定了其无知和结构范围内的模型促进了预应力混凝土和钢筋混凝土的分析。预应力混凝土板和组合连续梁在弹性和非弹性的范围内在偏心荷载的作用下与裂缝能结合的模型预测，这两种结合在理论和实验结果得到了较好的吻合。在最终的评价中，混凝土和金属裂缝的原因也比较过了，这两种极其不同的物质在非弹性的条件下是能够建立较好的相互作用的。

 

前言

裂缝构造学是在裂缝周围和端部的条件下对其物质形式的一种研究。裂缝构造学的应用也打开了组合材料模型的新领域，而在过去常常是以经验来确定模型的。

组合材料像混凝土是由不同材料不同形状和大小的颗粒经过复杂排列而形成的。这些小颗粒也是相互作用的，并在微裂缝开始之前就集中起来了。大块颗粒是由不同大小、级配、粗糙度的集合体。在荷载的作用下对混凝土的影响是比较大的。此外，集中应力普遍存在于不规则的物质基质中；这将导致微裂缝的出现，同时随着裂缝依次连续的增长这将导致结构的破坏。

混凝土在张力的作用下的破坏是由于最初的裂缝和裂缝在整个或部分构件中不断增长这一问题所引起的。裂缝是可以通过物质的张力特性来控制。在传统上，也已经采用强度参数来表示裂缝了。尤其是混凝土的拉应力和压应力，这些参数用于来定位张力在主要应力空间的停止状态。当组合体的主要应力违背了这些条件，裂缝就开始出现了。许多破坏的标准已经由Kupfer和Hilsdorf(1969)还有Kupfer和Gerstle(1973)在这些参数的基础上得到了很大的发展。

这些研究的目的是检验在裂缝模型过程中不同参数的使用和加强裂缝的处理，就像裂缝构造学和钢筋混凝土的管理参数一样。作者认为在物质的本质特性上建立裂缝方法的原理是可行的，而不是考虑不同物质的本来特性。

 

回顾以往的研究

研究人员经过多年同时用大量的方法来描述和量化裂缝的增长。总之，对于非线性有限元的发展起到了促进的重要意义。早期混凝土裂缝的模拟是在理由单一的张拉强度作为主要参数基础上控制的。理论是由于裂缝的标准应力已经被假定为当裂缝出现后迅速降低到零点（Dodds及其他人，1984）。然而，在下列的试验中却发现单一参数模型不能够被证实。Bazant 和Oh(1983)推断强度参数是“不实际的”。其分析的结果可以严重的影响与有限单元实际大小的相结合。

另一方面研究的目的是在扩展裂缝构造学的线弹性和弹塑性原理。通过应用应力强度因数的方法来对组合体的研究（Walsh 1976; Hawkings及其他人1977；Testa和Stubbs1977）.在这种条件下的方法，靠近裂缝端部的应力由下面有名的公式得到：

            

其中  =到裂缝方向的标准应力；Kl=应力强度因数；r=到裂缝端部的距离，裂缝将会随着Kl达到临界数值Klc而不断地增长。

Ingraffea及其他人（1984）研究混凝土裂缝构造学的线弹性应用。裂缝端部之前裂缝平面的标准应力可以在使用三个不同要素的应力强度大方法来确定。作者认为在裂缝端部应力的确定有一个Klc的方法是可靠的。对于金属和岩石等坚硬的物质是同样适用的。然而，它对于软性物质是不适用的，因为这些大的裂缝区是由微小的裂缝构成的。同时唯一的一个Klc数值却没能够找到。

组合材料的其它线弹性构造学的方法基本已经证明是不够充分的。然而，对于唯一的应力极限强度因数Klc的查找，使用J-积分和R-曲线是可行的。J-积分是一种平均数值的方法。而R-曲线是作为处理个别物质在裂缝缓慢持续增长的范围内抵抗开裂而定义的（由Barsom和Rolfe1987）.这是一种主要用来处理混凝土在整个裂缝区开裂的方法。

线弹性裂缝构造学仅当在裂缝区围绕县弹性区域内可以用来描述应力强度因数的特性是非常有意义的（即使是线性的）或者J-积分（当非线性不能适用时）也是可以的。这一部分通过混凝土的非延性反应来促进，然而微裂缝事实上并没有同时缩小。在金属的领域里并没有发现。因此，混凝土的平面应力和平面拉力并没有本质上的存在。所以式样的宽度即裂缝前面的长度并不是混凝土大多数主要的裂缝宽。

 

裂缝能和混凝土的软化

几个试验表明素混凝土的强度反应主要通过微小裂缝的变形来控制。最初，极少数裂缝的发展是由于温度的影响而缓慢减小的。然而，如果应力达到了大约混凝土的某个强度时，微裂缝的大小在所谓的裂缝区之中，其任何附加的变形将会增长。由于骨料和基质的离析，随着变形在裂缝区的增长，混凝土应力转移能力的减小。越来越多的裂缝产生，最终合并为大的裂缝而不能传递任何荷载。这种现象称为拉应力的软化，它通过图1的部分拉应力下降曲线来表示。

当大裂缝形成时，由于在裂缝表面的滑动摩擦使剩下的应力能转化为剪应力，它是由于材料的组合和结合形成的。过去大多数的研究人员忽略了混凝土张拉强度的软化，若适合的假定拉力能对单一裂缝在裂缝变形之前降低到零点的标准。然而，这忽略了混凝土的开裂是发生在某些伸展区域内的情况和对于单一裂缝的影响，为此这对于金属材料来说并不是其决定性的作用。

Rots和Blaauwendraad(1989)提出一些新参数的建立来描述开裂的过程，这可以用有限单元法来分析。这些参数是混凝土的拉应力强度ft；裂缝能Gf，其的意义等同于产生一部分区域连续裂缝所需的能量；和形成张拉力软化的图表。这三个参数被假定为物质的基本属性。

当混凝土在拉力作用下和应力达到材料的拉力强度时，一条裂缝就开始产生了。随着开裂的增长和转移能力的下降，最后变为零点时，裂缝就开始达到了极限。这个区域时裂缝标准应力在开始软化下裂缝能呈现的曲线，图表2表示了典型的混凝土应力—裂缝开始的位移曲线。

混凝土的裂缝能可以通过单向的张拉试验来确定。试验必须控制变形和其试验机器必须非常地牢固，以致于能准确地反应出荷载—变形递减的线图表。否者随着荷载控制试验开始时将会发生结构的脆性破坏。

混凝土的裂缝能Petersson(1980a,b1981)用另一种方法来确定。他处理一个缺口梁上的三点弯曲试验。其呈现出了荷载—弯曲曲线，曲线下的面积表示由裂缝增长到梁的深部所消耗掉的大多数能量。通过认识梁的部分交叉面积，裂缝能是可以测出来的。Petersson在试验中做了6个试件来比较张力试验图表和弯曲试验图表的结果。他认为裂缝包含的数值在张拉测试中有12%高于三点弯曲试验。

三点弯曲试验相对于单向张力试验而言较易于实行和控制，因此很重要来确定这两个试验结果之间的相互关系和有可能发展一种符合标准的材料试验来求得Gf值。

Bazant和Oh(1983)分析了22组试验的资料，并认为通过不同研究者在不同大小的混凝土样品来测试混凝土的裂缝能。有限单元法也已经在分析中的得到了使用。同时混凝土的裂缝也模拟为一个纯的有标志的裂缝带。在这样的模型中，微裂缝则被认为分布或存在一定宽度的有限单元结构中，称其为裂缝带宽度h。仅仅在裂缝模型分析中考虑[注意：例如Barsom和Rolfe（1987）求得不同裂缝模型中h的详细资料]。材料的裂缝性质可以通过三个参数来描述：裂缝能、单向张拉强度和裂缝带宽度。并且拉应力软化系数是这三个参数的功能函数。

一个近似的公式已经提出来预测混凝土的裂缝能其是在拉力强度和最大骨料尺寸的基础上确定的：

                 Gf=(2.72+0.0214ft)ft

其中Gf=预测的裂缝能；ft=混凝土的拉力强度；da=最大骨料的尺寸；Eco=混凝土的弹性系数。

等式（2）是建立在线性张拉应力软化图表基础上的，裂缝带宽度最有利的数值大约是三倍最大骨料尺寸。

Hillerborg(1984),Hordijk及其他人（1989），Rots和Blaauwendraad(1989)和Petersson(1980a,b)认为通过混凝土试件的几个实验来确定混凝土的裂缝能。他们的结论是混凝土的裂缝能是一种材料树形和其数值由骨料的大小和形状、水灰比、混凝土加载的时间和加载的速率影响的。Petersson(1980,b)发现了典型标准重量混凝土裂缝能大约是在60—100N/m范围之间。

 

 

拉力

 

图1 混凝土的张力关系曲线

 

 

          裂缝宽度

       →∣∣←弹性变形

               图2 应力-裂缝开始位移曲线

 

混凝土张拉应力软化的特点

混凝土张拉应力软化通过混凝土拉力强度ft来确定，软化曲线下面的面积显示了混凝土裂缝能Gf和递减形态的图表，如图表2。早期的分析是由Hillerborgj及其他人（1976）来实行的，使用了线性的拉应力软化表，Rots及其他人（1985）通过使用双线性的张拉应力软化表更好的来说明了混凝土裂缝能的确定。然而，这两种方法都不是准确的。从张拉试验来看混凝土的张拉应力软化表其是高度的非线性化的。

不同的研究者给出了下面的灯饰中适用于非线性的张拉应力软化的曲线：

*Reinhardt(1984):

 

其中K=0.31;  =裂缝能的标准拉应力；=拉力在标准应力的位置；=张拉应力软化的基本拉力值位置。

*Reinhart和Cornelissen(1986):

 

其中C1=物理常数=9.0；C2=物理常数=5.0。

*Gopalaratnam和Shah(1985):

其中 =常数=1.01；k=常数=0.063；w=裂缝的宽度，用测微计来求得。

Cornelissen及其他人（1986）：这些研究人员通过使用了标准重量和轻重量的混凝土试件进行若干个单向张力变形控制的实验，来确定准确地张拉应力软化的特点。对于标准重量的混凝土，最大的河流砂砾颗粒的大小是8mm，而烧结膨胀土则用来做轻质混凝土。推断认为对于给定混凝土的开始裂缝和基本应力之间有唯一的关系；这种关系并不是由压力或者拉力的历史来影响的。并提出了下面的数学指数函数模型：

 

其中f(w)=由下面给出的位移功能函数得到：

 

其中w=裂缝开始时的位移；w.=裂缝在应力不转化时的位移；c1和c2=物理常量（对于标准重量的混凝土：c 1=1.0;c2=5.64;对于轻质混凝土c1=3.0和c2=6.93）.这个模型适合于张拉应力的图表资料要点，而且对于两种类型的混凝土都能够得到满足。实验表明对于标准重量和轻质重量的混凝土分别来说w.的大小分别是160和140um.在这些数值中，w.实际上是所有微裂缝在裂缝区内裂缝开裂位移的总和。

 

裂缝能相对于基本的裂缝宽度

对于加工的裂缝模型，裂缝开始位移w是通过在有限单元之中裂缝拉力作用在裂缝带宽度h来表示的。因此，w是裂缝位移的叠加，显示在图表3（a）中。对于h的最佳数值是通过Bazant和Oh（1983）用三倍的最大骨料大小来确定的。通过假定微小裂缝一律分布在整个裂缝带宽度[表3（b）]，w可以表示如下：

其中 =裂缝标准拉力在最大拉力上的位置。

裂缝能表明Gf是单位面积内的连续裂缝。它相对于有限单元结构的大小是独立的。Gf释放在整个裂缝带宽度。

混凝土的裂缝能等于应力—裂缝—开始软化表下的面积。Gf为此可以表示为：

其中gf=张拉应力软化图表下的面积，如图表3（b）所示。

裂缝能和张拉强度是混凝土材料的基本属性。其很重要去测定材料性质和基本开裂在应力不不在转化条件下的关系（Morcos和Bjorhovde1992 b）,通过使用Reinhardt(1984)学模型和代替（9）式如下：

通过进行积分和替换求出极限值，发现有如下式：

基本开裂裂缝能和张拉强度间的关系：

                         w。=4.226Gf/ft                         （12）

基本开始裂缝为此对于混凝土的材料属性是线性相关的。在张拉强度和裂缝能已知的条件下，W。可以通过 （12）式来确定任何混凝土的配制。

     通过使用Reinhardt和Cornelissen(1985)数学指数模型，使其成为如下的式子：

w。=4.05Gf/ ft                                             (13)

Cornelissen及其他人（1986）对于标准重量的混凝土，给出如下的数学指数模型：

      w。=5.618Gf/ ft                                            (14)

对于轻质混凝土：

      w。=4.505Gf/ ft                                            (15)

 

等式（12-15）表明了裂缝能、张拉强度和基本裂缝宽度之间是一种线性的关系。此外，Gf、ft和w。的关系是用来描述张拉应力软化表递减曲线的独立数学表达式。尽管不同非线性模型的使用，而混凝土材料性质和基本开始裂缝的关系却是线性的（Morcos 1991）。使用一种非常近似的形式，这可以表示为：

      w。=C Gf/ ft                                               (16)

 

其中C=常量。其主要依靠数学模型来描述张拉应力软化递减关系的线图表，这对当前的研究是一种重要的发现。在总体上对于混凝土裂缝的应用研究有着重要的意义。

W(裂缝开始位移)

       （a）

拉力（h-h。）/h。

        （b）

图3  拉应力相对于（a）裂缝开始位移；（b）张拉裂缝

 

裂缝模型的应用

在结构分析中考虑混凝土裂缝后的强度，其是材料属性的一种反应。准确的混凝土裂缝是通过合并张拉力软化表在有限单元分析来确定的。软化图表的定义是通过三个著名的参数：张拉强度 、裂缝能和数学指数模型来描述的曲线。

有限单元的电脑程序也已经开发了，使用一种非线性层的模型来分析组合结构大致的范围和确定裂缝的形态（Morcos 1991）.分层的方法对于分析组合结构是非常有用的。例如组合体系，因为其独特的外形，对于去合并材料的局部变量和其他性质是非常有利的。例如裂缝的增长或者挤压预应力混凝土区和钢梁，提通过在不同的区域进行加载。下面给出分层有限单元法在这里用来描述裂缝的主要特征，跟随着计算程序的详细步骤即可以了，Morcos(1991)已经完整描述出来了裂缝的形态。

在分析中使用分层的方法，混凝土厚板被分解成合适数量的有限薄板构件。而钢梁通过多数的梁元件来表示时，例如下面的表4所示。混凝土厚板和钢梁被假定完全的相互作用，尽管在一般情况下是不要求的。梁元件必须与薄板元件在沿着结构网线联系起来，来促进元件和整个体系牢固的作用。如表5表示了一个典型的薄板元件标记在各个角上的I、J、K和L节点。梁元件被分解为一条笔直的线，通过节点I和J来限制。同时通过这两个节点与薄板元件相联系，其说明在下表6中。

 

 

 

 

图4  组合梁模型

 

 

图5 薄板和横梁的多节点体系

 

横梁构件是偏心的系在薄板构件上的。将在薄板的中心平面发生拉紧和弯曲作用相互结合，因此必须考虑其平面的变形。

混凝土厚板和钢梁再细分为几个层元件。其表示如表6，每层可以有不同的物质属性和稳定性。对于每一层都有不同的的拉应力。因此可以去跟踪裂缝在整个混凝土厚板的薄弱区的增长（即开裂在横梁智商或横梁之下）同时最先屈服的加强横梁和钢梁。

 

图6 偏心薄板层和横梁构件

 

混凝土厚板是被模型为一个简单的混凝土层和钢筋加强层的组合体，其的表示在图4中。并且每层被假定为受平面应力的作用，应力在每层的矩心上。通过取得每层顶部和底部应力的平均值来确定，并通过假定来显示出整个层上的平面应力。

预应力钢筋梁模型是通过同等的钢筋层，只有在加强的位置上固定的。同时钢筋层上的薄弱区可以确定为这一层的横断面面积等于多根钢筋面积的叠加。这比在一个加强层的横向和纵向上要好，并且钢筋加强层和周围的混凝土被认为是很好的结合的。

横梁和薄板元件节点的确定是在普通的平面里的。这个平面称为参照层，其表示在图6中。这个平面位于钢梁一定的距离上，通过这种研究这个参照层一致被假定为混凝土的中间层。它的位置在整个分析的过程中是固定不变的。组合梁的变形也必须首先考虑到这个参照层。

每个节点都有五个自由度，其中三个转化为：u、v和w。其分别在X-、Y-和Z-方向上。另外两个自由度是旋转角 和 ，分别沿着X-和Y-方向旋转。w和a、b是相互垂直的，其表示了在薄板平面外的形态。而位移u和v则表示了平面内的形态。在薄板和梁构件中自由度提出了足够描述变形的特点。

变形的相关性是沿着梁和薄板构件在连接线上实行的。其被认为是允许没有滑动的相互作用。

使用分层概念的好处事实上在于可能存在一个平面外的物理变量，在使用三维分析中得出的结论也是比较容易的。分层概念在任何荷载增加时都需要每个元件的每一层只有一个物质属性。

每层中的节点位移、压力和拉力可以通过荷载每次的增加来确定。对于每次的增加，程序由下面的步骤来实行：

 

1.      这种结构是分析对于给定的荷载增量和节点位移的确定，对于每个单元然后实行下面的步骤。

2.      节点位移转换成参照表面的拉和弯曲作用，对于每层j在i元件里面。然后执行下面的步骤。

3.      参照表面的拉力弯曲作用转换成每层的拉应力。

4.      每层拉力再次控制好适合的转换条件标准。

5.      如果转变区被超过了，材料将会被完全的变形。否则这个步骤被遗漏掉了。

6.      应力的确定在每层的矩心，通过使用适当的材料来作用。

7.      若转化的标准被超出，每层过多的应力可以确定。叠加所有的每层数，同时改变一些超出的向量力。

8.      重复步骤3-7直到处理完所有的单元。

9.      若对于所有单元的所有层的转变标准没有超出的话，这时对于这些荷载的增加完成分析。否则应执行下面的步骤。

10.  最新的单元体物质再次重聚合起来，并获得一种新的结构体系。

11.  结构的再次分析是使用过多的荷载变量。

12.  若位移由于过量的荷载变量有5%少于荷载的增量，那么解决的方法就可以所有集中于一点来确定了。

    

    从分析和实验结果中分析两个问题，来证明在一个结构大的范围内裂缝形态确定所提出模型的应用性和准确性（Morcos 1991;Morcos和Bjorhovde 1992a）.第一个例子就是薄板的问题，此是44.5mm厚的钢筋混凝土板其支撑在角点和加载于其中心而使其破坏的。第二个问题是连续组合梁，此处是100mm的预应力板和组合了一个1067mm的深薄板钢梁。Cornelissen及其他人提出的张应力软化图形的指数模型也已经得到了发展，并且已经在分层的有限单元分析中使用来确定混凝土的裂缝体系。而原来的研究人员使用了物质属性、几何原理和外形特征来研究这两个问题。

     Mcneice(1967)第一次分析了两个方向的钢筋混凝土板。试验通过忽略混凝土的裂缝能和裂缝处的强度，通过裂缝模型对于裂缝能承担60N/m数值和2.41MPa的张拉力强度来进行从新的分析。弹性因数和混凝土的压缩强度使用在分析中分别是28.6MPa和37.9MPa。通过最初的研究来确定，板的宽度是914mm乘于914mm，在纵向和横向上的增强率是0.85%。

      应用0.45KN的荷载变量来进行分析，对于每次的荷载增量拉力和压力在每个单元层是合理的，同时弯曲也是给定的。

     荷载—变形反应的预测是通过分析两个图在图表7中，随着从实验中得到的曲线和其他的推断（Lin和Scordelis 1975）。当裂缝模型和混凝土的张拉软化在分析中考虑时，在总体上反应显示了大多数混凝土裂缝之后的体系。在弹性的范围内，在混凝土板裂缝开始之前，要使分析的模型联系实验得到的资料。在裂缝变形之前，在荷载为4.45KN水平时和提高到荷载为10.7KN水平时，从实验中得出模型显示了强烈的反应最大值大约有9%的不同，是在荷载为8KN时发现的。在更高荷载程度10.7-12.5KN时，预测到变化大约是5%少于通过实验给于的数值。

因此推断出平板的荷载-变形形态通过分析和结合裂缝模型得到了很好的预测，特别是在荷载程度近似到平板的最大极限值。因此，提出的裂缝模型已经被证明比其它的模型更加精确。

第二个例子是简单支持组合梁实验并通过在半跨向上的方向上作用集中荷载来实现的。反应出了梁的负面效应（Frank 1991），这引起混凝土板张拉应力和钢梁的压缩应力。这个实验拟合了部分组合连续梁在内部的支撑，并且在弯曲点和加载点显示了组合连续梁在内部支撑处的反应。图表8显示了组合连续梁在交叉区域和在中心区域在支撑处提供了轴承加固，同时沿着梁的长度方向提供腹板的加固。混凝土板在纵向和横向两个方向的增长率分别是1.37%和6.25%。

组合梁的分析是通过结合裂缝能模型和承担数值为100N/m的混凝土板裂缝能。裂缝带宽度h，在分析中的使用是57mm，其等于三倍的最大骨料大小。模型在分析中的使用使混凝土板的影响逐渐的减小，组合梁的这种性质概括在下表1中。

组合梁的实验和分析荷载-变形反应显示在图9中，荷载-变形曲线通过分析准确地得到推测。当钢梁在线性范围内加载到445KN水平时，理论上预计的强度比实际实验中低5%。当撤去板后加载至490-623KN时，试验结果显示了钢梁是非常可靠的，试验测得的成果比理论推导所得相差4%。随着荷载的继续增加，钢板开始屈服了。可以从混凝土梁上出现的裂缝看出这一点，当荷载加到712KN时，试验和理论得到的数据显示相同。当荷载加到更大时，理论分析则显示出了更大的说服力。最大的差距达到了相差的6%。这是当加载到846KN时的差距。梁的上部钢筋在加载到810KN时就产生屈服了，而下部的钢筋则是在加载到868KN时才产生屈服的。

在忽略裂缝能和混凝土的延伸后对混凝土梁再次做了分析。图表10已经显示了加载-变形曲线。同时附有实验的数据及以前实验分析模式的结果。结果表明当没有延伸性时，混凝土一旦开裂就会失去它的强度，最大的差别可以达到19%。裂缝最大可以达到74mm，结果显示无延性梁和实际梁的曲线最大相差15%。

这两项分析对比说明了上述方法对于混凝土结构的广泛应用是可取的。钢筋混凝土板代表了钢筋和混凝土结合达到了一个极限，钢筋混凝土梁则达到了另一种极限。100mm的钢筋混凝土板可以与1067mm高的混凝土梁混合使用。在两项分析中，预计荷载-变形反应曲线与实验所得的曲线非常的近似，两者之间的差距由0扩大到相差9%，其是由于板的作用。当由于梁的作用时则相差6%。

裂缝-能量模型是对混凝土分析中最为重要的方法。此时，张拉的预应力钢筋比混凝土破碎处的钢筋要长。当混凝土由于钢筋的张拉而破碎失效时，如果不考虑被张拉的钢筋强度，其稳定性就会完全的破坏了。

在节点8处的变形

—设计模型张力软化面积6×6    -----设计模型不考虑张拉软化

——实验所得的曲线             ﹎﹎没有拉力软化时

﹎﹎﹎拉力软化结构面积3×3     ……拉力软化结构面积6×6

 

图7 Mcneice厚板的8节点荷载-变形曲线

 

图8. 组合梁平面图和剖面图

表1 组合梁的物理属性

           参数（1）

           数值（2）

                            （a）混凝土

           压缩强度

           35.9Mpa

           张拉强度

           3.0Mpa

           Ec

           30.146Mpa

           裂缝能量

           100N/m

           Poisson’s率

            0.2

                             （b）钢梁

           屈服应力-梁顶

            371Mpa

           屈服应力-梁底部

            337Mpa

           屈服应力-网状结构

            354Mpa

               Es

            200.000Mpa

                              (c)预应力钢筋

           屈服应力

            500Mpa

               Er

            200.000Mpa

            纵向钢筋

        3号顶部18；底部10

            横向钢筋

     3号顶部和底部分别114mm

                              (d)剪力分布

            变形   

直径大约在12.7mm和216mm方向上

 

 

混凝土和钢筋裂缝的对比

对于混凝土来说，裂缝的长度可以达到50-100mm，甚至更长。它包括与主要受拉方向垂直的裂缝和微小裂缝，开裂区域的破坏不包括伴随产生的侧向变形。也不受张拉应力软化而产生其它方面变形的影响。受压产生的裂缝位置曲线是由材料性质即材料的骨料大小而决定的，而且理论上假定压力只在其它方向上产生很小的影响。

对钢筋来说，在破碎区域内钢筋由于在混凝土内部有细微裂缝的存在。然而，大的裂缝只产生在顺力的方向上。弹性区域存在于裂缝的端部，弹性区域的大小取决于受压区域的计算模式及平面压力还是平面拉力。

破碎区域的钢筋显示扭曲是由钢筋的位置决定的。扭曲区域的大小取决于钢筋样品的粗细和外形。因此，受压裂缝-钢筋位移从钢筋实验中获得的信息并不是材料的性质。而是由钢筋的外形和粗细情况来确定的。显然，钢筋在受拉或受压情况下的性能并不相同。

图表11表示的是典型的混凝土和钢筋在标准长度100mm下首拉压的位移曲线。其中由于样品尺寸和钢筋型号被忽略了，而且递减曲线的钢筋型号也是未知的，得到的曲线也只是近似的曲线。曲线被分成两个部分，一部分代表了受拉-压关系的曲线。另一部分代表了受压裂缝曲线。检查曲线的下半部分，这一区域表示裂缝处先后大部分破损区域的混凝土可以被视为处于软化的状态。这是由于受压开裂-位移曲线比压力作用下更长。该曲线的下半部是材料破坏的标准范围。对于钢筋来说在位移变形和拉力作用下大部分应力被材料所吸收了，同时受压曲线以下的部分区域比受压裂缝-位移曲线更大。

式子（16）和参数的表达式都是近似的，其确定了金属的裂缝特性，在金属的弹塑性裂缝构造学的分析中，裂缝端部-开始位移是与材料的属性相关的。如下式：

其中 =临界尖端裂缝-开始位移在裂缝将开始的位置。

   Kc=静态荷载和平面压力下临界张拉因数。

E=弹性系数

=张力的平均强度和材料的屈服强度。

m=强制性因数；在平面压力和平面拉力下分别是1.2和1.6。

（Barson和Rolfe 1987）

裂缝能和临界张拉因数Kc有关，通过下式：

             

            

其中Gc=临界张拉应力能的释放率，将（18）式代入（17）式中得：

            

            

尽管形状、尺寸和混凝土类似，其裂缝的形态也相似。例如石头和陶瓷所产生的裂缝范围与钢筋和其它的金属不相同。式（16）和（19）证明了金属和混凝土的非弹性形态下的相互作用。临界裂缝宽度和裂缝能与张拉强度之间是线性相关的，这些都是材料的性能。

 

结论：

裂缝能和混凝土的张拉强度与最终的裂缝宽度是线性相关的。这种关系是用独立的数学模型来描述曲线的变化，混凝土和金属的裂缝形态也已经做出了比较，一种良好的关系也已经建立在这两种物质的非弹性形态中。临界裂缝宽度与材料的属性也是线性相关的。

钢筋混凝土板和组合连续梁的荷载-变形曲线已经准确的预测出来了。在弹性和裂缝出现后的范围内通过分析合并的裂缝-能量模型。裂缝-能量方法是混凝土结构分析中有非常重要的意义。在混凝土的裂缝中张力的减小比拉力的减小要更大。

 

 

 

 

 

 

 

图9 组合梁的荷载-变形曲线

 

梁的变形    

梁的变形

 图10  裂缝能在荷载-变形反应中的影响曲线

图11.标准长度100mm的混凝土和钢筋典型张拉力-变形曲线（Hillerborg 1984）