间接约束柱的柔性屈曲的有限元分析

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简介： 这份文件是关于在同心荷载下具有间接约束的双向对称柱的弹性和柔性屈曲。间接约束导致主轴挠度和旋转之间的耦合，并且柔性屈曲模式引起两主轴方向的弯曲同步。间接约束抵抗位移和扭转，并且可能更坚固或具有弹性，它们可能集中在柱子的一个点或沿柱长分布。本文讨论端部间接约束的特性，综合有限元分析时下柱子弹性屈曲的的特例，并且说明间接约束柱的设计。
关键字：屈曲 柱 设计 弹性 约束 钢

1、导论

　　这份文件是关于在同心荷载下具有间接约束的双向对称柱的弹性柔性屈曲。这个问题算是立体框架中压缩构件一般性问题的一个特例。

　　约束下的双向对称柱的弹性屈曲已经做了彻底的研究，并且业已弄明白。任意两个主平面xz和yx内的柱的搭接如图1所示。在这种情况下，屈曲分析是更近一步的考虑独立平面内的屈曲模式。平面内端部约束不平衡扭转影响下的屈曲已经做过分析(Trahair et al, 2001)，并且计算柱有效长度因素的图表（SA, 1998 and BSI, 2000）和用来代表屈曲荷载是合适的。

　　不过，似乎很少有人研究相对于主Xz平面成角度的斜xz平面内的间接约束柱的弹性屈曲，如图2所示。这种情况下，主轴发生位移和扭转时的间接约束导致屈曲，并且柔性屈曲模式导致两个主轴方向同时发生屈曲。Trahair (1969)年所做的运用端部约束线来研究不平衡角度部分柱所发生的弹性屈曲。弹性屈曲荷载在约束线和柱主要x轴方向之间差异角度，波形方式成大约正弦曲线。屈曲荷载的大小由于不对称不平衡角度而影响扭转的效果。间接约束实例包括通过连接板和端部约束连接的Z部件柱。柱的主轴的扭转与支撑横梁和格子梁相关联。根据柱子刚度所对应的横梁刚度，支撑横梁可以被假定为在一个或两个柱平面内柱的刚性弹性约束扭转。间接约束可能抵抗挠度和扭转。可能是刚性或弹性的。他们可能集中在一点或沿柱通长分布。柱，粱和梁柱的集中分布约束下的极限扭转屈曲分析，Trahair (1993)已经做过论述。

　　在这份文件中，只有集中间接约束柱柔性屈曲的影响被讨论过，因为在分布约束影响的扩展非常简单。以下各节讨论间接端部约束的特性，综合目前柱子弹性屈曲影响的例子，说明间接约束下柱子的设计。（Rasmussen and Trahair 2004）提出一个刚性弹性端部约束下扭转柱的屈曲的精确和近似的解决方法在附件中。

　　2、约束

　　一个L型弹性柱和轴向的压缩N如图1所示，x和y是柱子横截面的主轴，z是沿着柱子的距离。柱子沿着它的长度在一个或更多点约束是用来抵抗挠度和扭转，如图2所示，X，Y是与主x，y轴成一定角度的两间接约束轴线，约束反力Fx和Fy阻止方向上发生挠度U和V。同时弯矩Mx和My阻止X，Y轴向的扭矩dV/dZ和dU/dZ。

　　当柱子屈曲时，它在x，y方向上发生挠度u，v。这些挠度与X，Y方向上的挠度U，V有关，并通过下式计算

　　在上式中[T]由下式得到

　　如果约束是弹性的，则他们可以被表示为

　　在下式中

　　是抑制作用的矢量

　　是斜平面变形矢量

　　是约束刚度的矩阵。

　　当柱子屈曲时这些约束存储应变能量

　　能被转化为主轴系统

　　在

　　并且

　　3、弹性屈曲的有限元分析

　　有限元电脑程序被用来分析沿柱通长的一些点上变化着的许多轴向力和集中弹性刚性间接约束共同抵抗挠度和扭转是的柱的柔性屈曲。这种程序在柔性屈曲下使用能量守恒的原则，并通过能量方程式表述。

　　E是弹性模量，Ixe，Iye是一种有限元关于x，y主轴的二次矩，Le是长度，Ne是有限元素的初始轴向力，z是沿着有限单元的距离{}的变形矢量，{}是弹性约束的约束刚度矩阵，是在屈曲时的荷载元素。在有限元方法内，三维领域通过运用元素结点变形{}用来表示挠度u，v，并且第11方程式的第1和第3个术语的组成部分转化为

　　在上式中[ke]和[ge]是元素刚度和稳定性矩阵的元素（Trahair,1993）.所有的这些元素相加就形成了总的矩阵[K]和[G]，并且加入约束刚度{}去组成

　　刚性约束需要一些总的变形{}转化为0，因此这些在第13方程式之外精简为

　　当刚性约束发生在主要平面时，这种简化是简单的，因为总变形是初平面内的值。刚性约束发生在斜平面内时，转化相对主平面到斜平面是简单的，通过下式

　　在上式中[T]被第2方程式给出。

　　小屈曲荷载要素和用{}定义的相对屈曲模式可能使用标准程序从第14方程式中提取出来。计算机程序已经被使用MATLAB语言和功能编写。

　　4、应用

　　4.1 刚性扭转的端部约束

　　有限元计算机程序已经用来分析在Xz平面内与xz主平面成角间接约束抵抗端部扭转和挠度的等截面柱的柔性屈曲。如图3所示。16种等式方程元已经用来获得在随后的部分里显示的数值结果。

　　当值为90o时，在约束平面外柱屈曲N0=Ny在下式中

　　Ny=2EIy/L2

　　表达，其半正弦波型为U=U0sin（Z/L）。当值为00时且Ix〈4Iy时，柱的屈曲（Timoshenko and Gere, 1961）N0=Ny时平面外的挠度的表达式为V=V0sin（Z/L）。

　　通常，当从00增加到90o时，Nx降低到N0且 4Ny 降低到Ny，如图3所示，如果Ix/Iy从1增加到无穷时，在间接约束下Ny增加到4Ny，利用2方程式能量方法计算的三维柔性屈曲荷载N0/Ny的独立不确定值已被Rasmussen and Trahair (2004)发表。并在附录中显示，如图3所示。

　　4.2 弹性扭转的端部约束

　　有限元电脑程序被用来分析与X，Y主平面成角的X，Z平面内端部柔性间接约束抵抗扭转和变形的柱的屈曲。如图4所示。无量纲约束刚度参数和无量纲屈曲荷载的变化

　　如图4所示。无量纲屈曲荷载从1增加4则无量纲约束参数从0增加到1。为了得到更高的值，无量纲屈曲荷载减少到最低值。结果如图4所示。

　　4.3 端部约束的刚性分析

　　有限元程序被用来分析在一个端部（Z=0）阻止挠度和扭转，另一端（Z=L）柱在平面Xz与xz平面成可以自由移动Yz垂直平面内具有刚性间接转变约束柱的屈曲，如图5所示。

　　无限屈曲荷载的计算机值N0/Ny，如图5所示。当sita角度值为90o时，约束平面外的柱的屈曲可看作悬臂梁N0=Ny/4。当角度值为00且Ix〈18Iy时，约束平面外柱的屈曲可看作悬臂梁N0=Nx。当角度值为00且Ix〉8.18Iy时，约束平面外柱的屈曲可看作悬臂梁N0=2 .045Ny (Timoshenko andGere, 1961)。

　　通常，无限屈曲荷载的参数形式的变化Nx/Ny和Ix/Iy与端部约束的刚性扭转柱是相似的，如图3所示。

　　4.4 集中约束的刚性传递

　　有限元程序被用于与Xz主平面成角度的xz平面内的集中刚性间接可传

　　递约束下在两端可自由扭转但不能发生挠度的柱的屈曲的分析。无限屈曲荷载

　　N0/Ny的计算机值如图6所示。当值为90o时，平面外的柱的屈曲N0/Ny成半正弦波曲线U=U0sin（Z/L）；当值为0o时且Ix〈4Iy时，平面外的柱的屈曲N0=Nx成半正弦波V=V0sin（Z/L）；当值为0o且Ix〉4Iy时，约束平面内的柱屈曲N0=4Ny成全正弦波U=U0sin（2Z/L）。

　　通常情况下，当Ix〈4Iy时，无量纲屈曲荷载的变化的参数N0/Ny，Ix/Iy与柱杆端约束传递是相似的，如图5所示，但是，当Ix〉4Iy时，屈曲模式瞬时发生改变，从平面模式变化到非平面模式。

　　4.5 集中约束的弹性传递

　　有限元程序被用于分析与xz主平面成一定角度的Xz平面内的集中柔性传递荷载的刚性约束下两端不允许发生挠度但可自由扭转的柱的屈曲，如图7所示。无量纲屈曲荷载的变化N0/Ny与无量纲刚性约束参数相关。

　　当角为0o，30o，60o，90o且Ix/Iy=4时，

　　如图7所示。当角度为0o时，无限约束刚性参数从0增加到0.767则无限屈曲荷载变化量N0/Ny从1增加到4。当屈曲模式从一种对称正弦波曲线变化成一种半对称的正弦曲线(Trahair et al, 2001)，是约束不变的。

　　当一个更大的角度时，相对于无限刚性约束Rtx=1.0时，屈曲荷载稳定增加到一个最大值。

　　5、间接约束柱的设计

　　5.1 屈曲分析后的设计

　　使用屈曲分析设计方法是比主轴约束下广泛使用的设计方法简单的间接约束钢柱的设计方法。它将间接的直接的被包括在国际标准(AISC,1999)，澳大利亚标准(SA, 1998)，英国标准中(BSI, 2000)。

　　用这种方法，间接约束柱的柔性屈曲荷载N0的分析结果

　　被用于计算

　　被用来决定通常设计能力的可变弯曲。

　　例如，AISC Specification and the Australian/New Zealand Standard (SA,

　　1996)的冷弯钢结构都使用

　　如图8所示。

　　5.2 工作实例

　　2000mm长的冷扎钢截面柱如图9所示，它的截面特性通过使用电脑程序THIN-WALL来确定。（Papangdis and Hancock.1997）如图9所示。柱端阻止挠度的发生，腹板平面内阻止扭转，但腹板平面外的两端可以自由扭转，压应力通过下式确定

　　6、结束语

　　柱的约束发生在与主平面成一定角的平面内发生主轴挠度的同时将导致屈曲。因此屈曲模式是平面的而非单平面的屈曲可以抵抗挠度和扭转。可能是刚性的或是弹性的。可能集中在一点或是沿柱通长分布。有限元程序分析间接集中刚性弹性约束且多轴压力下柱的柔性屈曲。柱子在不定约束下主轴轴向扭转和阻止端部发生挠度和斜平面下扭转柱独立解决方案的程序所得的已知结果已经被证明是有效的。

　　通过使用屈曲分析的设计方法，工作实例已经被证明，间接约束钢柱能被设计，用一种与传统主轴约束下的柱的设计相融合。

　　附录1

　　AISC (1999), Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel Construction, Chicago.

　　BSI (2000), BS5950 Structural Use of Steelwork in Building. Part 1:2000. Code of Practice for Design in Simple and Continuous Construction: Hot Rolled Sections, British Standards Institution, London. Mathworks Inc (1995), Student Edition of MATLAB, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

　　Papangelis, JP and Hancock, GJ (1997), THIN-WALL – Cross-Section Analysis and Finite Strip Buckling Analysis of Thin-Walled Structures, Centre for Advanced Structural Engineering, University of Sydney.

　　Rasmussen, KJR and Trahair, NS (2004), “Exact and approximate solutions for the flexural buckling of columns with oblique rotational end restraints”, Research Report No. 834, Department of Civil Engineering, University of Sydney.

　　SA (1996), AS/NZS 4600:1996 Cold-Formed Steel Structures, Standards Australia, Sydney.

　　SA (1998), AS 4100-1998 Steel Structures, Standards Australia, Sydney.

　　Timoshenko, SP and Gere, JM (1961), Theory of Elastic Stability, 2nd edition, McGraw-Hill, New York.

　　Trahair, NS (1969), “Restrained elastic beam-columns”, Journal of the Structural Division, ASCE, 95 (ST12), 2641-64.

　　Trahair, NS (1993), Flexural-Torsional Buckling of Structures, E & FN Spon, London.

　　Trahair, NS, Bradford, MA, and Nethercot, DA (2001), The Behaviour and Design of Steel Structures to BS5950, 3rd British edition, E & FN Spon , London.

　　附录2

　　A 截面面积

　　a0,1,2见公式31

　　b0,1,2见公式28

　　c0,1,2见公式29

　　E 弹性模量

　　{Fr} 矢量约束反力

　　Fx, Fy 约束反力

　　fy 局压力

　　[G], [K] 总刚度稳定性矩阵

　　[Gc], [Kc] 缩减总刚度稳定性矩阵

　　[Ge], [Ke] 刚度稳定性元素矩阵

　　Ix, Iy 惯性矩

　　Ixe, Iye 单元惯性矩

　　L 柱长

　　Le 单元长

　　Mx, My弯矩

　　(Mx)0 Z值为0时的弯矩

　　N 同轴荷载

　　Nd 设计压力

　　Ne 轴压应力

　　Nn 名义压应力

　　Nx, Ny 柔性屈曲荷载轴力

　　Ny 极限荷载

　　N0 弹性极限荷载

　　RRY, RTX约束参数

　　[T] 转化矩阵

　　u, v XY主轴向的挠度

　　ur, vr剪力作用下挠度

　　u0, v0剪力作用下变形最大值

　　U, V 平行于XY轴的剪力发生挠度

　　U0, V0间接剪力中心挠度最大值

　　x, y 主轴

　　X, Y 约束平面主轴

　　z 与有限单元的距离

　　[ αC] 约束刚度矩阵

　　[ αR] 不变约束刚性矩阵

　　[ αr ]间接约束刚性矩阵

　　αRX , αRY 主轴约束刚性矩阵

　　αTX , αTY扭转约束刚性矩阵

　　γ端部条件参数

　　{ δR} 约束点处斜面位移矢量

　　{ δr } 约束点处主轴位移矢量

　　{} 总挠度矢量

　　{C} 总挠度不变矢量

　　θXZ平面与xz平面夹角

　　λ屈曲荷载因素

　　λc可变弯曲

　　附录3

　　双向约束L型柱和主轴荷载N阻止两端变形，与xz主平面成角的Xz平

　　面内一个柱端阻止扭转，另一端可在平面外自由扭转。它可以被假设为Ix〉Iy。约束平面外或内的X，Y方向的变形

　　是的屈曲。U型屈曲满足约束平面平面界限条件du/dz=0，且满足约束平面内第二类V型屈曲的界限条件（MX）=0。

　　使用方程1和2，

　　当

　　柱的弹性屈曲荷载下的能量方程

　　也可以被写成

　　在下式中

　　b0 = 4{cos θ - γ sin θ}2+ (Ix / Iy) (sin θ + γ cos θ)2} (28a)

　　b1 = - (16 / 3 π) {sin θ (cos θ - γ sin θ) - (Ix / Iy) cos θ (sin θ + γ cos θ)} (28b)

　　b2 = sin2 θ + (Ix / Iy) cos2 θ (28c)

　　c0 = 1 + γ2 (29a)

　　c1 = (16 / 3π) γ (29b)

　　c2 = 1 (29c)

　　间接荷载下无量纲屈曲荷载N0/Ny具有最小值

　　在下式中

　　a0 = b1c0 - b0c1 (31a)

　　a1 = 2 (b2c0 - b0c2) (31b)

　　a2 = b2c1 - b1c2 (31c)

　　如图3所示。