钢筋混凝土坡屋顶的结构设计

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简介： 本文对于现浇钢筋混凝土坡屋顶，尤其是常见的住宅结构，指出实际工程中常见的设计错误及问题。本文提出采用折板、拱壳结构布置概念和设计方法，用以减少或取消梁、柱的布置以降低成本并扩大阁楼的用户使用功能。本文还讨论了屋顶需要开洞、开窗，及具有其它复杂形体情况的设计。本文阐述了相应的简易近似计算方法及构造处理。
关键字：坡屋顶 折板 顺沿平面荷载 垂直平面荷载

一．前 言

　　近几年，钢筋混凝土坡屋顶的应用已经十分广泛，其正确设计方法的研究、确立非常迫切。其目标可以是取消或减少屋顶内的梁、柱，实现大空间，让屋顶板下“整洁干净”。这除给结构专业本身带来效益外，还能给建筑专业的设计开拓新余地，最终让广大用户、房地产开发商受益，其意义深远。
　　目前常见的实际工程，设计者在计算的力学模型中，往往把坡屋顶看成垂直投影下的平面梁板,或把平脊、斜脊轮廓线当成框架盲目地加梁、斜柱。事实上，对于一般方形平面的房屋，双坡、多坡屋顶的受力状态与拱、壳结构类似。平脊、斜脊的横断面都是“人”字型的折板，无论是否布置梁、柱，其脊线的变形形态根本不同于框架。上述做法都会使计算结果与真实的结构内力大相径庭。在施工过程中，屋脊梁、板斜交处模板形体复杂，多种角度的钢筋交错重叠，安装、浇注都很困难。这些在工程中也很常见，是典型的画蛇添足。
　　有学者运用弹性薄壳理论的数学物理方法，分析折板屋盖的内力、变形，揭示了在底座四周边既无水平外涨、又无竖向沉降位移情况时的竖直荷载效应规律^[2][3][4]，在一定程度上体现了拱、壳的特点。然而，假定这样的边界条件，与一般工程的实际情况相差甚远，掩盖了屋檐纵向跨中有沉降，底边缘承受拉力的根本特点，所以不能用于一般工程设计。

二．本文方法概述

　　对于一般常见的跨度，本方法取消屋脊梁，基本不加腋。但在周边屋檐下要设框架梁或圈梁兼窗过梁。对于平面为长矩形的多开间、多柱情况，在建筑专业布置有横隔墙的每对中间柱之间在进深方向设置宽度同墙厚，可藏砌在墙里的拉梁。除跨度较小的情况外，拉梁上方有双坡贴板屋面斜梁。对于住宅，如果建筑专业需要，可争取实现在每户范围内顶棚无梁外露，见图1。类似桁架理论，本方法强调利用构件轴向力效应，但与桁架的区别在于内力分布不仅沿杆单根轴线而且还沿板平面。一般每块板都具有折板的受力特征，在承受屋面重力、风力、地震荷载，造成顺沿板平面的内力分量时，每块板都相当于有加强翼缘的薄壁梁。纵向支座之间由拱壳效应产生的板的横推力就是靠薄壁梁的抗弯反力水平分量平衡的。在板承受上述荷载的垂直分量时，每块板就相当于有嵌固边的多边支承板。本方法的设计要点，就是有意识地建立、完善坡屋顶的拱、折板体系，在屋檐标高处用尽可能少的水平拉梁平衡斜板的水平推力。其计算方法可分为手算法和计算机法,本文重点讨论手算法。手算方法取坡屋顶的单坡板作为隔离体，通过近似地整体分析，简化确定板的边界条件，求解顺沿平面、垂直平面两种荷载效应，在直法线假定下对各种内力线性叠加，检验稳定，综合配筋。本方法追求可操作性，用一般工程师相对熟悉的计算步骤解决较复杂的问题。

　　本文的方法适合于框架结构，稍加变通也适用于砌体结构或框剪、剪力墙结构。一般拱结构具有良好的抗地震性能，只要设计得当，坡屋顶也如此。本文采用伪静力方法分析地震力效应。

三．坡屋面板作为薄壁梁，对顺沿平面荷载的效应进行分析和设计

　　首先针对图 1.的横剖面 I-I，即位于一对长向梯形板1、2的等宽度矩形部分进行分析。作为近似计算，假定其顺沿平面荷载沿长向是常数，这正如四面支承的矩形平板可以被简化为单向板的情形一样。我们取沿长向为一单位宽度的窄条结构作为分析对象，采取了图2的两铰拱模型。

　　图2右支座处的竖连杆代表屋檐梁的支承作用，而斜连杆则代表板本身的薄壁梁反力效应，是虚拟的，近似等效的（其作用的真实位置应是分布在斜板内），我们在此要求解两个支座反力。因为工程实物的总压力是通过板2及屋檐梁传递到两端柱上的，所以两杆支反力数值可以分别被看作为板2承受的顺沿平面荷载及屋檐梁承受的竖向压力荷载。下面给出各种工况下板2右端两种连杆支反力表达式，因模型取单位宽，所以其结果除屋面有集中质量情况外均为线均分布荷载。它们均由N表示，其英文下脚标s、b分别表示顺沿平面作用于屋顶板、及竖直作用于屋檐梁，g、w、e分别表示重力、风压及水平地震作用，d、c分别表示分布、集中荷载或作用。公式中h表示各板厚度，g为重力加速度，a为屋顶处的水平地震加速度设计值，Wk表示风压的标准值。m加数字下脚标表示各编号斜板的单位面积的分布质量集度，m加英文下脚标表示各位置集中物质量。对于两坡对称的情况，它们的公式可以更简洁。

　　图2a表示承受竖向重力荷载情况，各项对应的公式为(1)至(4)：

　　图2b 表示承受风荷载的情况，各项对应的公式为(5)、（6）：

图2c表示承受水平地震作用的情况，各项对应的公式为(7)至(10)：

　　当按抗震设计规范要求进行竖向地震力计算时，其计算公式大体同重力作用公式(1)至(4)，只要把重力加速度g换成竖向地震加速度a_v 计算即可。上述公式适用于图2的右支座，当将两板数据对调时也适用于左支座。
　　对于多坡屋顶的端部三角板，作为简化近似计算，我们假定两种线均分布荷载仅由本板屋面的几种荷载、效应产生。现截取图1的II-II剖面来分析长向梯形板2的端部三角区，假定结构大致对称，取结构的一半建立模型，见图3。因为与其相连的端部三角形板3平面内抗侧移刚度很大，因此假定模型左支点即构件中央沿左右方向不能移动。板中央竖向刚度小，在一般重力荷载大致对称的情况仅可能发生中点上下移动，因此模型中间采用上下平行的双连杆连接。风荷载、地震作用一般在两坡呈近似反对称，因此在板模型中央采取不动铰支座，允许转动并把侧向力传给板3的边梁。板2三角区下的屋檐梁竖载及板本身顺沿平面荷载分布均是图1所示的以x为自变量的函数，设II剖面位置距端部为x₀，则图3中斜坡的水平长度应为y₀=x₀L₂/L₃。式(11)至(14)为三角区承受竖向重力情况沿x方向任意位置的两种分布荷载值，其中h₃  应为板3的竖直剖切厚度。

　　对于风荷载及地震作用效应，简图可近似取图 3b、3c,用结构力学方法求解，但过程繁琐且合理程度有限。与重力荷载效应相比，风、地震效应显然是次要的。加之三角板面积小，作为近似计算，如直接采用双坡矩形板的计算结果，比较方便且不会明显浪费。求解端部三角板3的两种分布荷载，方法与长向梯形板的三角区的解法相同，只要将图1所示的x与y、L₂与L₃互相颠倒即可，实际剖面为图1中的III-III。

　　图4为图1所示屋顶斜板的直立展开平面图，及承受组合值荷载（其作用的真实位置应是分布在板内而不是集中在上边缘线上）的简图，用来分析斜板平面内力及柱支座反力。图中斜边恰是斜屋脊，相当于加强边框，类似桁架的上弦斜杆，与下边缘组合，能构成暗桁架体系；而长向梯形板内的矩形部分可以被看成薄壁梁，也可以看成桁架。因此，我们称屋面板在平面内形成了“薄壁梁-桁架”体系，在混凝土理论里，梁与桁架之间并没有天然的鸿沟。对于这样的联合体系，要准确手算内力、支座反力比较烦琐，也没必要。因为一方面，跨数多、抗弯刚度大的结构对于支座不均匀沉降十分敏感，须多留安全储备；另一方面由于它截面很高，通过加大配筋量来提高承载力对成本影响并不大。具体算法就是：单跨斜板按简支计算；多跨连续斜板的弯矩、剪力、支反力用可能的上限数值控制办法取值。各跨正弯矩按简支计算，中间支座处两侧剪力、负弯矩及支反力按在本支座连续、两邻端铰支，左右两跨长均取两跨中最大跨距计算，边跨边支座剪力即支反力按本跨简支计算。这样各位置的各种内力的安全度得到程度不均匀的扩大，因此在以后步骤中还应适当再调整。
　　无论是板的三角部分还是矩形部分，薄壁平面内抗弯的受力筋都可以按弯矩对板上、下端距离的合力点取矩的方法计算，配在屋檐或屋脊。笔者认为没必要按受弯构件的最小配筋率来控制配筋量。三角板的上边框相当于斜支杆，能整体抗剪。在认为其端部可能薄弱时，可适当补强其下面的屋檐梁配筋。在薄壁的矩形部分如果抗剪需配箍筋，应迭加到板筋（在后有述）中，一般没必要刻意在假想腹杆位置加强配筋。

四．拉梁与屋檐梁的计算和设计

　　图1柱处标注了斜板计算得到的支座反力及它们的水平、竖直分量，水平分量为总反力乘以倾角的余弦。以柱A处为例， R_A2中第一个下脚标A表示柱编号，第二个下脚标2表示本反力由板２产生。它的水平分量R_{A２ H} 要靠三角板3下的屋檐梁平衡。中间支座反力的水平分量，应由进深方向两柱间的水平拉梁来平衡。这时，拉梁与上方的斜梁构成了三角形刚结拱架。因反对称荷载的存在，作用于两侧柱的反力水平分量可能不一致，拉梁拉力应取平均值。考虑支座可能的不均匀沉降影响，拉梁的水平设计拉力值应适当宽裕。
　　屋檐边梁一般承受四重内力：第一为上述水平拉力，第二是作为斜屋面板的翼缘在板平面内受弯时它产生的轴力，第三是作为承受垂直荷载的屋面板的边梁承受的弯矩、剪力，如板为多面支撑，实际受力就比承受按单向板计算的N_b荷载情况小，第四是框架侧移效应内力。应线性叠加，综合配筋。在荷载重、跨度大、倾角小的场合，应作受拉梁的抗裂验算，适当加大断面，用细钢筋。包括边梁在内的拉梁钢筋端部应采取两段弯折锚固，尤如“L”字的右下端再加一长为10d的弯段,弯折135度角，并把与拉梁相交的柱竖筋兜在弯折阴角内。
　　本文取图1的模型作为算例，不计老虎窗，四坡屋面倾角均为35 ^o，屋面板各边长展开尺寸见图4。板单位面积质量集度（包括全部永久荷载）为350 kg/m²,检修活荷载0.50 kN/m²，风压标准值迎风面为0.21 kN/m²,背风面为 -0.45 kN/m²,屋顶水平地震加速度设计值为0.1g。按规范对承载能力极限进行计算，分别考虑有、无地震作用情况的荷载效应基本组合设计值，本算例经比较采用无地震力的组合。各位置的计算荷载、内力结果见表１：

五．坡屋面板作为多边支撑板，对垂直屋面的荷载效应进行分析和设计

　　折板结构具有“板架合一”的特点：一般每对相交的斜板都是互相提供支承的，转折线两侧互相刚结的板可绕转折线微小转动并传递、分配弯矩。在控制荷载即重力作用下，在两坡几何、荷载大致对称的场合，对称轴转折处基本不出现转角，可近似视为板的嵌固边。在屋檐处板如果向梁外悬挑出一定距离，梁内侧的板也会形成负弯矩。加之长屋面板在板下的斜梁处与邻跨板连续，这些都可近似地作为板的嵌固边处理。对于水平地震荷载这样的反对称荷载，平屋脊应按铰对待，但它往往不是控制荷载。板弯矩最后设计值应是各种工况不利组合的线性迭加，从横剖面方向看板应按压弯构件配筋。借鉴、兼顾混凝土深梁对构造的要求，板上皮的负弯矩钢筋应全部或每隔一根整跨拉通，因为它们同时担任着深梁的分布腰筋或箍筋。板内垂直于屋檐的底筋、负筋按各自的计算需要量,再迭加箍筋需要量后仍可能上、下用量不同。这种情况两侧“箍筋”在檐边无法按“U”字型底部连通，可分别向上、下弯折成“L”形，折段长可同板厚。
　　斜板的转折相交节点，应适当加强。考虑构造简洁，建议采用图5所示的大样构造，在阴角不受拉的情况，不加腋。为保证全部钢筋的准确安装就位，可在图示的加强钢筋处加少量的带支架的菱形箍筋与加强筋先形成定位骨架，让后装的两坡板钢筋绑扎其上。设计者应该用立体几何的方法准确计算菱形箍筋各肢边长度，给出成型大样施工图。

六．坡屋面开窗、开洞的计算、处理

　　设图6中的板开有宽b，高h₀的方洞，假定总体计算得到洞中心处的顺沿平面弯矩、剪力分别为M、V，按空腹桁架计算方法，洞中部可有：

　　其中I₁、I₂ 、I分别表示上、下板肢的截面惯性矩和双肢截面惯性矩。而洞口边缘弯矩为：

　　在洞口不太大、靠近总体的中性轴的大多数情况，按无洞情况设计的配筋在开洞后仍能满足平面内的受力计算要求。
　　一般老虎窗窗体突出屋面，其中一立面有开洞立窗，在其它立面有混凝土板封闭。在分析屋面板垂直板面荷载效应时，与无窗、洞的屋面板相比，窗立板增加了荷重。窗体立剖面的折板形态使其较无洞屋面板减小了抗弯刚度，但洞边与剖面平行的竖板又局部地增加了抗弯刚度。在无竖板的立窗下边应有上翻梁，以增大求得洞口周边刚度接近。这样，可以暂时忽略板刚度的变异，根据实际荷载、尺寸、边界条件按实体板计算正、负弯矩，再处理节点。应指出，在板的反弯线附近是布置屋面斜板洞边的最理想位置，尤其在开立窗的一面，因为它垂直方向的弯矩传递路线被切断。如果在屋檐梁处屋面板无向外的悬挑部分，板实际受力反弯线就靠近屋檐梁，逆之亦真，为此应争取建筑师在确定老虎窗位置时适当关照。在洞边远离反弯线时，窗侧壁与屋面板的相交折板就要承受和传递弯矩，但与无洞板相比，其能力总会削弱，其节点就成了薄弱部位。为了祢补判断、计算的偏差，两种板均可双面配筋。当洞口小于反弯线范围时，应加大周围负筋以保障板总的承载能力。为保证板内钢筋准确就位，也应采取类似图5那样的定位箍筋和纵筋构成骨架。箍内底纵筋应为加强钢筋，端部伸过洞口拐角应超过一个锚固长度，以克服洞口四角底边的拉应力集中。   

七．屋面斜板的稳定

　　在我国的V形折板结构设计规范^[8]中，防止两侧翼板发生局部失稳的方法是限制其宽厚比值，这个规定来自运用各向同性薄板的屈曲理论的分析。在研究翼板外边失稳临界状态时，翼板的支承条件设定为外边自由、内边固定，前、后两边铰接，在板承受弯曲应力的情况，求解与受压边的临界压应力相对应的宽厚比。当混凝土等级为C30时，宽厚比b/t的理论限值应为47，对非予应力情况规范取值为35。混凝土的弹性模量和其强度等级并不是线性关系，如用高强混凝土需另行研究。在实际坡屋盖中，只有长向连续板的中间支座处外板边才可能受压。而这里恰恰与贴板屋面斜梁、水平拉梁浇注在一起，没有侧翻、外涨位移的可能。折板规范限定的跨度为21m，而屋顶下的纵向柱间距一般远小于此。与板成为一体的屋檐梁改变了板的边界条件，抗失稳作用也很大。对于其它位置的斜板纵向受压边缘，也可适当设置扶板边梁，这些都可获得超出规范规定的富余安全度。考虑到板在平面内还有剪力，同时垂直方向的荷载造成了出平面效应，所以对于稳定安全度的掌握还应谨慎。本文建议斜板厚度不要小于短向跨度的1/35，这也正符合一般承压双向板设计经验。混凝土等级应在C25至C35之间，钢材应为I或II级。

八．形体复杂的坡屋顶

　　遇到由更复杂的空间几何板件组合成的坡屋顶时，要完成从局部到整体，再回到局部的归纳、分析过程。要把一些相邻但可能是零碎的小板件合并成周边基本在一个平面上的复合大板，参与整体的拱、折板分析，再利用整体分析结果作为边界条件来计算它所包含的小板件和它们的相互连接节点。每块复合大板自身必须稳定，有足够的刚度和强度。在某些不便布置水平拉梁、或者两坡边柱不对位的场合，也可以利用升到屋檐标高、与其方向垂直的剪力墙，或者侧刚度足够的框架柱来平衡屋盖推力。

九．坡屋顶局部结构的计算机计算方法及全结构总体电算

　　任何具有斜板薄壳单元和杆件单元的有限元结构计算软件，均可以胜任坡屋顶的计算。壳单元的每个节点具有三个膜自由度和三个板自由度，可以同时分析板平面内及出平面内力效应。然而目前某些流行的空间结构有限元电算程序，虽然有壳元模型，但某些不能处理斜板，某些不能对同时存在的平面内、外两种应力状态综合配筋，都不够完善。随着建筑构造日趋多样、复杂，空间斜板问题会经常遇到。这类软件应该再扩充其前、后处理功能，对壳单元刚度矩阵及荷载向量进行自由度的方向转换，进而能分析空间斜板，针对砼的空间应力状态综合配筋。在根本的意义上讲手算方法与有限元方法是相通的，但结果一粗一细可能相差较远。只要按照本文概念布置屋顶构件，再使用这样的软件计算，就可快捷、高精度地实现完成本文目标。
　　从屋檐到屋脊的标高范围，整个屋顶层的抗侧移刚度较下层突变，集中质量比下层小，这种情况在整个房屋的整体计算中用一般的框架模型不易模拟。在高层结构的地震情况,由于高振型反应即鞭梢效应的影响,本层地震侧向力可能异常，对以下几层也有影响。因此，在屋顶局部手算的场合，在对整体结构进行电算分析时，建议屋顶层采用斜杆斜支模型，以减少对总体结果的失真影响。如果采用有空间斜板处理功能的软件，坡屋顶用壳单元建模，就可以从上到下一气呵成。顶部结果可直接用，对总体的失真影响也不复存在。

十．结语

　　1）与本项研究有关，混凝土斜板、边梁不同方向的内力叠加、配筋，及斜板稳定、对开洞的限制等都有待深入研究。类似的典型问题有高层结构转换层楼板、箱型基础中的箱侧面壁板，它们的研究成果都可以用来借鉴。对工程实物进行应变观测是一种重要的研究方法；有限元电算分析将更会因经济实用而流行。目前社会上现存竣工的坡屋顶，无论设计者主观采用的是什么样的假定和分析方法，配筋是否合理，只要在总体结构布局的客观现实上形成了空间折板、拱体系，它们目前的工作状态都可以用来总结、借鉴。
　　2）这种结构形式给建筑师对楼顶层利用的设计构思开辟了新天地，并影响着人们的生活习惯。它带来的经济、社会效益会逐渐显露，但需要建筑、结构专业人员密切配合，需要人们认识和宣传，甚至需要房地产管理政策等多方面的支持。对于结构专业，本方法难度较大，某些具体细节目前无规范可依，需设计者对知识的综合运用能力。这是结构人遇到的挑战，也正是快乐所在。

参 考 文 献

[1]Francis D.K.Ching  A Visual Dictionary of Architecture, International Thomson Publishing Inc. 1997.
[2]江清风：四边简支方形双向折板的内力，土木工程学报，1987年第2期。
[3]赖远明、张肇新：周边简支组合折板屋盖的挠度和内力，土木工程学报，1992年2期。
[4]赖远明：简支平顶四坡折板屋盖的内力和挠度，土木工程学报，1995(1)。
[5]李开禧、崔佳等：关于雁形截面梁的局部稳定问题，建筑结构，1996年第1期。
[6]中国建筑科学研究院PKPM CAD工程部：多层及高层建筑结构空间有限元分析与设计软件SATWE用户手册及技术条件。
[7]陈醒辉、林元坤等：V形折板屋盖设计中的几个计算问题，空间结构论文选集，中国土木工程学会桥梁及结构工程学会空间结构委员会编，科学出版社，1985
[8]现行建筑结构规范大全（3），中国建筑工业出版社，2002。