浅谈砼凸榫在重力式挡土墙设计中的应用

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1、前言
    平果铝一期和二期工程重力式挡土墙断面设计通常采用倾斜基底的措施抗滑动。相同主动土压力且数值较大的情况下，当基底摩擦系数较大时，所需砌体体积不大；而当基底摩擦系数较小时，所需砌体体积明显变大，不经济。本文通过实例说明基底设置砼凸榫抗滑动的措施比倾斜基底可节约20％左右的挡土墙圬工体积。另外，本文还提出了一种较好方法――代数法来设计挡土墙最经济断面尺寸，克服了过去试算法反复试算的缺点。
    2、设计实例
    2.1 实例基本情况
    平果铝业公司游泳馆南侧边坡在雨季期间稳定性很差。为了确保馆内人员和建筑物安全，我受有关部门委托，搞好边坡排水措施的同时决定在坡脚设计一挡土墙来解决安全问题。
    挡土墙设计有关参数如下：墙背土内摩擦角Φ＝35o。墙高H＝5m，主动土压力E=126.11KN（水平分力Ex=120.28KN，竖直分力Ey=37.92KN），作用点与墙踵距离为H/3。墙高H1＝4.70m承受主动土压力E1=111.43KN（水平分力E1x=106.28KN，竖直分力E1y=33.51KN）。浆砌毛石容重γ=22kN/m3，基底摩擦系数μ=0.25，地基承载力f＝170kPa。墙身采用Mu20毛石、M5水泥砂浆砌筑。砼凸榫标号为C20，砼弯曲抗拉应力设计值ft＝1100kpa，剪应力设计值fv＝660kpa，弯曲抗压应力设计值fcm＝11000kpa。毛石砌体沿砼表面滑动摩擦系数μ1＝0.60。设计时以1.0米长挡墙为计算单位。
    下面分别采取倾斜基底和基底设置砼凸榫两种抗滑动措施来设计断面尺寸，然后将两者结果进行比较。
    2.2 倾斜基底抗滑动
    2.2.1 断面设计
    采取倾斜基底抗滑动措施来设计一断面尺寸，顶宽设为代数b，墙面坡度、台阶宽度和高度分别选取经验值1：0.20、0.40m、0.60m。本人认为由于基底摩擦系数较小，采取此种措施倾覆稳定系数和基底偏心距容易满足设计要求，而滑动稳定系数难以满足，成为决定断面尺寸的主要因素（后面的挡土墙验算可以说明）。下面利用代数法以设计要求滑动稳定系数Ks≥1.30为条件计算顶宽b最小值，从而得出满足设计要求的最经济断面面积。
    （1）有关设计参数用含顶宽b的代数式表示：得出关系式（5.0－0.60－0.2B）×0.2+0.4+b=B,整理后得底宽B＝0.96b+1.23。计算断面各部分自重对O点力矩：
    G1=1/2（－0.04b+0.83）（－0.19b+4.15）×22＝0.08b2－3.56b+37.89，X1＝0.40+2/3（－0.04b+0.83）＝－0.03b+0.95；
    G2 ＝b（－0.19b+4.15）×22＝－4.18b2+91.30b，X2＝0.40+（－0.04b+0.83）+0.5b＝0.46b+1.23；
    G3 ＝0.60×（0.96b+1.23）×22＝12.67b+16.24，X3＝1/2（0.96b+1.23）＝0.48b+0.62；
    G4＝1/2（0.19b+0.25）（0.96b+1.23）＝2b2+5.21b+3.38，X4＝2/3（0.96b+1.23）＝0.64b+0.82。
    所以每米自重之和∑G=－0.10b2+105.62b+57.51。每米自重对O点力矩之和∑GX=－0.64b3+48.10b2+130.14b+48.84。断面面积S＝－0.0045 b2+4.80b+2.61。
    （2）倾覆稳定系数Ks = [（∑G+Ey）cosα0+Ex sinα0] μ /[Excosα0-(∑G+ Ey) sinα0]，将∑G、Ey 和Ex各代数式及设计要求Ks≥1.30代入上式，整理后得关于b的代数方程：
    0.051b2-53.34b+99.01≥0，解得b≥1.86m。
    （3）挡土墙设计参数确定：顶宽b选取最小值1.86m作为设计值，算得B＝3.02m，∑G＝253.62kN，∑GX＝453.19kN·m。
    2.2.2 挡土墙验算
    （1）倾覆稳定系数验算：Kt=（∑GX+ Ey B）／[Ex (H/3-0.2B)] ＝（453.19+37.92×3.02）/〔120.28×（5/3-0.2×3.02）〕＝4.42＞1.60（远远满足设计要求）。
    （2）滑动稳定系数验算：根据上一节“断面设计”过程的计算，当b＝1.86m时，Ks＝1.30（刚刚满足设计要求）。
    （3）基底偏心距验算：e＝B/2－〔∑GX + EyB－Ex (H/3-0.20B)〕/（∑G+ Ey）    ＝3.02/2－〔453.19+37.92×3.02－120.28×（5/3－0.20×3.02）〕/（253.62+37.92）     ＝0.003＜B/6＝3.02/6＝0.50m（远远满足设计要求）。
    （4）地基承载力验算：P＝（∑G +Ey）cosαo/B＝（253.62+37.92）×cos11.31o /3.02＝94.67＜f＝170kpa；
    Pmax（Pmin）=（∑G+ Ey）(1±6ecosαo/B) cosαo/B＝（253.62+37.92）（1±6×0.003cos11.31o/3.02）cos11.31o/3.02＝94.66±0.55＝95.21（94.11）kpa，Pmax=95.21kpa＜1.2f＝1.2×170＝204kpa（远远满足设计要求）。
    （5）墙身截面强度验算：远远满足设计要求，限于篇幅验算过程从略。
    2.2.3 挡土墙断面面积
    根据上述验算，选取顶宽b＝1.86m时刚刚满足设计要求，这时断面面积S＝11.53㎡。
    2.3 基底设置砼凸榫抗滑动
    2.3.1 墙身断面设计
    采取基底砼凸榫抗滑动措施来设计一断面尺寸，顶宽仍设为b，墙面坡度、台阶宽度和高度分别为1：0.20、0.40m、0.60m。本人认为采取此种措施砼凸榫容易满足滑动稳定性和倾覆稳定性要求，而基底偏心距难以满足，成为决定断面尺寸的主要因素（后面挡土墙验算可以说明）。下面利用代数法以设计要求基底偏心距e≤B/6为条件计算顶宽b最小值，从而得出满足设计要求的最经济墙身断面面积。
    （1）有关设计参数用含顶宽b的代数式表示：计算底宽B＝b+1.28。计算断面各部分自重对O点力矩：
    G1=1/2×0.88×4.40×22＝42.59，X1＝0.40+2/3×0.88＝1.0；
    G2 ＝b×4.40×22＝96.80，X2＝0.40+0.88+1/2b＝1.28+0.5b；
    G3 ＝（b+1.28）×0.60×22＝13.20b+16.90，X3＝1/2（b+1.28）＝0.5b+0.64。
    所以每米自重∑G=110b+59.49，每米自重对O点力矩之和∑GX=55b2+140.80b+52.84。墙身断面面积S1＝ 5b+2.70。（因下一节“砼凸榫断面设计”中的砼凸榫凸出部分重力占墙体总重很小，且对墙身稳定有利，为了简化计算故忽略不计）。
    （2）基底偏心距：e＝B/2－（∑GX + EyB－H/3）/（∑G+ Ey），将∑G、∑GX、Ey 、Ex和B的代数式及设计要求e≤B/6代入上式，整理后得出关于顶宽b的代数方程：
    18.33b2+99.32b－140.65≥0，解得b≥1.17m。
    （3）挡土墙设计参数确定：顶宽b选取最小值1.17m作为设计值，算得B＝2.45m，∑G＝188.19kN，∑GX＝292.28kN·m。基底偏心距e＝B/6＝0.408m。
    （4）挡土墙墙身断面面积：S1＝8.55m2。
    2.3.2 砼凸榫断面设计
    砼凸榫分为两部分，嵌入墙身部分面积和重力计入墙身（素砼容重与毛石砌体取值相同）。凸出部分高×宽设为ht×bt。下面利用设计要求滑动稳定系数ks≥1.30和砼本身材料强度条件分别计算ht和Bt值。
    （1）基底应力计算：σmax（σmin）=（∑G+ Ey）(1±6e/B)/B＝（188.19+37.92）（1±6×0.408/2.45）/2.45＝92.29±92.29＝184.58（0）kpa。
    假设B1＝0.90m，则σ3＝σ1B2/B＝184.58×1.55/2.45＝116.78kpa。凸榫前立面被动土压力Ep＝1/2（σ1+σ3）tg2（45o+φ/2）＝1/2（184.58+116.78）tg2（45o+35o /2）＝556.04kpa。
    （2）凸出部分高度计算：由滑动稳定系数表达式ks＝〔htEp＋（σ2 +σ3）B2μ/2〕/Ex及设计要求ks≥1.30推导得：ht≥〔1.3Ex－（σ2+σ3）B2μ/2〕/Ep＝〔1.30×120.28－（0+116.78）×1.55×0.25/2〕/556.04＝0.24m。
    （3）凸出部分宽度计算：按断面弯矩计算 Bt≥（3ht2Epγm/ft）1/2＝3×0.242×556.04×2.31/1100＝0.46m；按断面剪力计算Bt≥htEpγm/fv＝0.24×556.04×2.31/660＝0.45m。选取两者中较大值Bt＝0.46m作为设计值（γm为材料安全系数，砼受弯拉和剪力取2.31）。
    （4）砼凸榫断面面积：嵌入墙身部分S2＝0.3B＝0.3×2.45＝0.735㎡（含在墙身S1＝8.55㎡中）；凸出部分S3＝htBt＝0.24×0.46＝0.11m2。
    2.3.3 挡土墙验算
    （1）倾覆稳定性验算：Kt=（∑GX+ Ey B）／[Ex H/3]＝（292.28+37.92×2.45）/（120.28×5/3）＝1.92＞1.60（满足设计要求）。
    （2）滑动稳定性验算：根据上一节“砼凸榫断面设计”过程的计算，当ht＝0.24m时Ks＝1.30（刚刚满足设计要求）。这表明ht只需较小值即可满足挡土墙整体滑动稳定性设计要求。
    （3）基底偏心距验算：e＝0.408m≤B/6＝2.45/6＝0.408m（刚刚满足设计要求）。
    （4）地基承载力验算：P＝（∑G +Ey）/B＝（188.19+37.92）/2.45＝92.29＜f＝170kpa；
     Pmax=σmax ＝184.58kpa＜1.2f＝1.2×170＝204kpa（满足设计要求）。
    （5）砼凸榫与毛石砌体交接处截面1强度验算：
    截面1以上墙体有关参数计算：高度H1＝4.70m，每米自重∑G1＝172.02kN，每米自重对O1点力矩之和∑G1X1＝272.56kN·m。
    截面1偏心距：e1＝B/2－（γG∑G1X1＋E1yB－E1xH1/3）／（γG∑G1+E1y）＝2.45/2－（1.2×272.56+33.51×2.45－106.28×4.7/3）／（1.2×172.02+33.51）＝0.214m≤B/6＝2.45/6＝0.408m（结构自重对结构本身不利时荷载分项系数γG取1.20）。
    截面1正应力：σmax（σmin）=（γG∑G1+E1y）(1±6e1/B)/B=（1.2×172.02+33.51）(1±6×0.214/2.45)／2.45＝97.53±51.32＝149.25（46.61）kpa＜fcm＝11000kpa；
    截面1剪应力：τ=[ E1x－(∑G1+E1y)μ1]/ B＝〔106.28－（172.02+33.51）×0.60〕/2.45 ＜0（截面强度远远满足设计要求）。
    （注：墙身其它截面强度远远满足设计要求，限于篇幅验算过程从略）
    2.3.4 挡土墙断面面积
    根据上述验算，选取顶宽b＝1.17m和ht＝0.24m及Bt＝0.46m时刚刚满足设计要求，这时挡土墙总断面面积S＝S1＋S3＝8.55
    （砌体＋砼）＋0.11（砼）＝8.66㎡。
    2.4 两种措施结果对比
    将倾斜基底与基底砼凸榫两种抗滑动措施对比，利用倾斜基底抗滑动挡土墙所需断面面积为11.53m2，而利用基底砼凸榫抗滑动时所需断面面积为8.66m2（毛石砌体与素砼造价相差很小），二者相比可节约（11.53－8.66）/11.53＝25％的挡土墙圬工体积。
    3、结论
    挡土墙抗滑动措施利用基底设置砼凸榫比倾斜基底要节约20％左右的挡土墙圬工体积。与上述实例相比，如果基底摩擦系数减小且墙背主动土压力增大，节约效果将增大；反之，节约效果将减小。另外，本文利用代数法设计挡土墙最经济断面面积的方法，克服了试算法反复试算的缺点，起到事半功倍的效果，可供其他设计者参考。

    参考文献：
  〔1〕交通部第二公路勘察设计院主编  公路设计手册----路基  人民交通出版社  1987年
  〔2〕周汉荣主编  土力学地基与基础  武汉工业大学出版社  1993年