分形几何在混凝土研究中的应用及其前景

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摘 要:混凝土材料的复杂性及其非线性力学行为越来越受到重视. 首先论述了混凝土研究的复杂性和应用分形理论研究混凝土问题的可行性，其次详述利用分形理论研究混凝土问题的方法， 最后指出分形理论在混凝土研究中的应用前景.

关键词：分形几何，混凝土，分维

作为应用十分广泛的建筑材料之一，混凝土是一种非均匀的多级多相介质，由于成型工艺、养护条件等原因，在构件承载之前，混凝土不同层次的相界面及水泥浆本身，已经存在着大量的由干缩及凝结硬化所引起的各种尺度的随机分布裂纹，即初始损伤. 这些初始损伤在荷载作用下将进一步扩展，其演化是非线性的，导致混凝土的力学性能呈现出明显的非线性及各向异性.

分形[1 ] (Fractal) 是由IBM( International Business Machine) 公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授美籍法国数学家Mandelbrot 于1975 年首先提出的，它与耗散理论以及混沌被称为20 世纪70 年代科学上的三大发现，是非线性科学研究中的重要成果。 它为人们从局部认识整体，从有限认识无限提供新的方法论，为不同学科发现的规律性提供崭新的语言和定量的描述，为现代科学技术提供新思想新方法。 近20 年来，分形理论已经得到广泛的应用，在包括物理、化学、生物学、天文学、材料学、计算机图形学、经济学、哲学等相对独立的领域内获得了大量成果。事实上不同学科领域现象之间存在惊人的相似性，因此分形理论有可能成为联结现代各学科的纬线。 笔者就分形在混凝土研究中的应用作一介绍，并就其应用前景进行进一步分析。

1 　分形理论在混凝土研究中的应用

1. 1 混凝土骨料的分形性

混凝土宏观性能所呈现出的不确定性、不规则性、模糊性、非线性，是其微观结构复杂性的反映[2 ] . 目前人们对混凝土微观性与宏观性的关系尚末完全研究清楚，混凝土作为具有复杂微观结构的多级多层次的复合材料体系，尤其是骨料的级配具有突出的自相似性，完全可以利用分形几何学进行研究。并且通过研究，得出结论：混凝土细骨料颗粒(粒径) 级配质量分布与细骨料颗粒(粒径) 级配体积分布相等，都与体积分维数有关，不同的分维值对应不同的级配关系，同样分形体积与分形孔隙率也与分维值有关，进而指出由于混凝土是一种微观结构及力学性能都很复杂的大宗工程材料，为此人们做了大量的研究工作，但迄今还有许多问题尚未弄清。利用分形几何学原理对混凝土微观结构、细观层次下的力学性能及自相似特征的描述是十分有效的，无疑对混凝土研究开创了一个新的方法。研究表明[3 ] ，混凝土中存在许多的分形现象，混凝土孔隙与土孔隙相似，都是具有多层次自相似的混沌体，对这种分形现象进行深入分析，是研究混凝土复杂性本质的有效途径。

1. 2 　混凝土裂纹扩展的分形动力学

对于脆性及半脆性的混凝土断裂问题，目前研究的仍很不够，其原因在于混凝土这种材料断裂极其复杂[4 - 7 ] . 混凝土断裂要经过萌生、扩展(平速) 和动态断裂(加速) 的复杂过程，且该过程又受混凝土应力状态、材料强度、原生缺陷等多种因素制约，从而造成混凝土断裂过程中出现一系列的复杂裂纹运动现象： ① 断裂萌生过程中的微裂隙形成；②裂纹扩展过程中的沿晶、穿晶及其耦合形式；③原生缺陷的干扰； ④动态断裂中的裂纹分叉、协同贯通及沿剪切面的突变滑移； ⑤羽状裂隙的形成，等等，从而导致裂纹的扩展路径弯弯曲曲，极不规则。大量研究表明，裂纹的扩展路径具有分形特征。裂纹在萌生过程中，其过程区形成微裂隙网络，微裂隙网络具有分形特征，其分形维数随着应力的增加会逐渐增大，直到裂纹开裂扩展，此区域的微裂隙网络的分形维数才稳定下来，形成一个过渡的分形稳定域. 随应力的变化，裂纹继续此过程，从而过渡到下一个分形微裂隙域。裂纹在扩展过程中，一般表现为沿晶断裂扩展、穿晶断裂扩展及其耦合三种形式，中国学者谢和平[1 ] 对大理石建立了三种形式的裂纹分形模型，并计算出相应的分形维数和裂纹临界扩展力，对深入研究混凝土微现断裂机理十分有益. 裂纹扩展分叉是一个非线性现象，它可使断裂韧性值增加。其分叉的非规则性是材料物理力学、变形破坏和微结构效应的综合反映。 若假设其为自相似分叉系统，可建立其分叉的分形模型为：

D = ln3/ ln (2cos β2 )

若综合考虑裂纹的萌生微裂隙域的形成，裂纹的扩展和动态分叉断裂、裂隙扩展路径的复杂程度及分形维数的大小与受力特征、材料性质有直接联系. 一般而言，同一种混凝土材料裂纹尖端承受剪应力时其分形维数明显大于受张应力的情形，且裂纹尖端剪应力越大，裂纹扩展的路径越复杂，其维数值越高。

李廷芥[2 ] 等进行的试验研究表明，裂纹扩展导致其表面自由能的耗散量、裂纹扩展速度与裂纹的分形维数D 有如下关系：

ΔE = A ·d- DG0

V = ( d Δα) 1 - DV 0

式中　G0 为断裂韧度；d 为分形标度下限；V 0 为测量裂纹扩展步长为Δα时的表观扩展速度上式表明：低维数值对应着混凝土中裂纹的快速生成和扩展，以及弹性能快速转变成动能，从而导致动态破坏现象的发生，这一点对混凝土破坏的预测具有重要的理论价值。

构件的断裂是结构材料最危险的失效形式，所以断裂力学一直是材料学包括建筑材料学的研究热点。传统的连续介质断裂力学理论建立了材料宏观力学性能测试和结构设计的基础，但如前所述，它尚不能从细观和微观尺度揭示材料组织结构与性能之间的关系，而这是材料科学的根本问题。文献[ 8 ]首先尝试将分形几何用于混凝土类材料的断裂研究，认为不规则的混凝土断口同样具有统计自相似性和分形持征。根据混凝土裂纹的扩展路径和分形几何原理，他们从微观尺度分别建立了沿晶脆断、穿晶脆断、沿晶和穿晶偶合断裂的微观分形模型，井将预测的分维值与采用周长面积法实测的大理石直接拉伸试样的分维值进行了比较，得到了基本一致的结果. 通过分形分析给出了沿晶和偶合断裂最容易发生的定量描述，作者指出混凝土断裂表面的分维可能是混凝土材料组织结构、变形和破坏过程的综合相关的几何参量。文献[ 9 ] 指出分形几何可以应用于脆性和准脆性断裂研究， 经典的方法不适合于分形断裂，断裂的能量吸收率可以和断口的分形测度即分维建立联系。微裂纹花样的分形特征可以概括混凝土、陶瓷等多相材料的断裂能量。文献[ 10 ]分析了裂纹扩展速率的分形效应，结果表明在相同晶粒尺寸的材料中，沿晶和偶合断裂具有最快的扩展速率。 所有这些，如果不考虑分形就不可能定量地反映出这些规律性，也不可能直接建立微观与宏观相结合的表达式。 宏观裂纹分叉使断韧性提高，这一直是断裂力学研究的一个课题。一些学者从裂纹顶端存在夹杂、空隙等而引起裂纹重新形核和扩展来探讨是应力强度因子增大的机理，而另一些学者从裂纹分叉的非规则性来研究断裂韧性的提高。

诱发材料宏观物理力学性能劣化的内部微裂纹或孔隙发育、演化行为称作损伤。 选择恰当的损伤变量描述损伤及其演化律，建立损伤宏观力学响应与微纫观结构效应之间的定量关系是损伤力学研究最基本、同时也是最感兴趣的问题之一。近年来分形几何已成为定量描述材料损伤断裂宏细微观力学行为的有力工具，这类工作主要揭示了材料损伤行为的分形持征，并将实验数据拟合损伤分形描述与宏观力学量之间的对应关系。文献[11 ]首先研究了混凝土类材料损伤演化过程的自相似性规律，发现损伤演化是一个分形，分形能刻划材料损伤断裂的整个过程。文献[12 ]结合损伤力学和分形几何理论，在分数维空间给出了分形损伤变量定义及其解析表达式，指出欧氏空间损伤变量实际是分数维空间分形损伤变量， 将欧氏空间损伤变量定义推广到分数维空间，建立了一种兼顾反映损伤细观结构效应和宏观损伤力学分析需要的损伤定义与描述方法。 在此基础上，推导了材料损伤演化律和损伤本构关系的分形表达形式，揭示了宏观损伤力学性能变化对损伤微细观结构效应的依赖关系。

1. 3 分形在混凝土材料声发射研究中的应用

混凝土内部含有许多不同性质的缺陷、裂纹及微观构造上的不均匀性，其受载断裂过程实质上是一个由原生裂隙到微裂纹扩展，随后出现宏观断裂的连续过程。而断裂力学是以主裂纹的开裂作为材料断裂的判别依据，当采用断裂力学理论解决混凝土的断裂问题时，一个很重要的问题，就是如何确定临界条件，即在上述连续过程中取哪一状态为开裂的临界状态。 大量实验表明，混凝土在整个断裂过程中都伴有声发射产生，并且在不同阶段有着不同的声发射特征。 分形几何是近几年发展起来的研究在自相似意义下所具有的尺度不变性的数学分支。

文献[13 ]通过试验结果证明，混凝土材料的声发射过程具有分形特征。分形特征是声发射过程在自相似意义下所具有的尺度不变性，它可以作为从复杂多变的声发射信号中提取有关材料内部变化的可靠信息的内在根据，其所建立的分形特征函数从自相似的角度反映了声发射过程的性质。这一特征函数不仅可用于材料声发射性能的研究，而且可用来探讨力学过程与材料内部结构演化之间的关系(即本构关系)。 声发射特征参数同样能明显地表达出断裂过程中材料内部结构演化的进程，而且与基本声发射参数相比，特征参数有更好的稳定性和直观性，因而更便于应用，在临界状态下，各声发射分形特征参数表现出一定的异常“模式”，而且不同参数对这种异常的反映是一致的。 因此，这种识别模式可以作为材料出现临界断裂的识别特征。

1. 4 　基于分形理论的混凝土质量评价

对于混凝土中裂隙分布的高度不均匀性，可应用分形方法对这种非均匀性进行研究。这种方法可以用来分析沿某一测量方向的事件发生的可能性与不均匀性，测量过程如下:

用某一尺度ri将一段岩心划分成M 段小区间，如果这M 段小区间中有m 段小区间含有裂隙，那么在

该尺度下裂隙出现的概率P 为　　　　　　　　Pi = m/ M

改变测量的尺度ri为ri + 1 ，则有不同的概率P 与之相对应. 按上述定义有　　

Pi = Ni / Mi

式中　Ni为在ri尺度下Mi段岩心中出现裂隙的混凝土段数

由于　　　　　　　　　　　　　　　　Mi = L/ ri

则有　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = Ni ri / L

式中　L 为所取混凝土试样段的长度

从而　　　　　　　　　　　　　　　　Pi = C

对于Cantor 集合，令C = 1 ，则一个长度为r = (1/ 3) n的步长包含有一条线段的概率为

p n = (2/ 3) n ，于是D = log2/ log3 ，这和用分形的定义公式计算的结果是一样的。

将一系列的ri和p i的数据投影到log p —log r 的双对数坐标图上得到一系列点，在图上找出无标度区，然后用最小二乘法拟合该直线. 该直线段的斜率即为1 —D ，这样即可求出该段混凝土的分维值D ，进而作为判断混凝土浇注质量的依据。

2 　分形几何在混凝土研究中的应用展望

如前所述：混凝土材料从形成机理到受力变形特征均表现出强烈的分形行为，因此建立混凝土分形理论立论充分，其理论框架如下：

第一，应用分形理论和计算机技术构造或生成混凝土的分形模型，研究其孔隙、破碎的生成机理及其形成有关参数、物理性质、化学性质与分形演化的关系。

第二，利用计算机模拟和实验等手段研究混凝土材料受力变形和破坏的力学机理，并建立分形演化与其物理力学参数的关系.

第三，建立分形演化动力学方程，构造混凝土分维动态本构模型，并软件化，实现混凝土变形和破坏的可视化模拟. 混凝土材料分形行为的研究，为认识混凝土变形破坏机理提供了可视的研究手段，并为从更深层次认识混凝土材料变形破坏、非线性、复杂性架起了桥梁[ 14 ]。

(1) 上述大量分析表明，混凝土材料变形破坏过程中的各类分形图景貌似无序、无规则中的规则，非确定中的确定，可以用固定函数，图形或综合按照分形法则来构造和模拟，这恰是混沌理论所要阐述的。混凝土材料动力学演化过程具有混沌特征： ①混沌是混凝土材料中固有的，其运动状态的复杂性受混凝土材料本身内部固有缺陷所决定； ②混沌是决定论的，混凝土材料每时每刻的状态均受前一时刻状态的制约； ③ 混沌出现在混凝土材料裂纹演化、破裂点变化过程或系统中； ④裂纹扩展或材料破坏对初值的敏感性、演化过程中非周期性以及分形性也是具有混沌吸引系产生的条件。

(2) Thom 的突变理论最早(1972) 出现在《结构稳定性和形态发生学》一书中，说明突变理论更主要的是关于形态发生的科学，混凝土材料破坏过程中，表现出一系列演化着的分形形态，其演化着的分形形态存在着突变，例如裂纹突然扩展，混凝土的突然破裂，地震的突然发生，断层的突然滑移等等， 因此突变理论能够更好地刻划混凝土材料分形动力学行为中的突变现象。

(3) 混凝土材料裂纹演化的协同效应。 对于混凝土材料，成岩后和变形后出现的图形均是静态的，而在变形过程中却表现出了扩张或收缩性的动态分形图景。著名的Mandelbrot 集、J ulia 集以及Smale 马碲映射、Henone 映射等从理论上证实这种分形演化的动力行为。如在地震前期地层中的微破裂点集就是典型的离散点集式收缩域分形，采动岩体裂隙分形演化也是一个典型的变维分形，混凝土动态破碎(爆破) 却是一个扩张域分形， 因此研究建立混凝土类材料分形动力学理论具有广泛的工程适用性。 远平衡条件下的非线性动力学在材料科学领域的应用日益广泛。在很多情况下，材料的生长被一些在远离热平衡条件下进行的过程控制着. 分形理论的进展必将为混凝土材料科学的研究提供更有力的方法和观点。

应用分形理论解决问题应注意以下几点：

① 分形既可以是几何实体也可以是由“功能”或“信息”等架起的数理模型；

② 分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，这样就使分形理论研究的领域大大拓宽，分形中的自相似性可以是绝对的相同，也可以是统计意义上的相似，自然界中前者很少见到，而后者却比比皆是；

③ 分形的相似性有层次上的差异。数学上的分形具有无限嵌套的层次结构，自然界中的分形只有有限的层次嵌套，且要进入一定的层次后才可以有分形的规律；

④ 分形的相似性有级别上的差异，级别即使用生成元的次数或放大的倍数. 级别最高的是整体，级别最低的是零级生成元，级别越接近，则越相似，级别相差越大，相似性越差，有时甚至根本不相似，这就涉及到标度区间或标度不变性范围. 一旦逾越标度区间，自相似性就不复存在，因此就谈不上分形了.

参考文献

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